点電荷における電位

点電荷における電位を理解するためには、クーロンの法則と電界（電場）の知識が必要になります。先にこちらの記事を読んでいただくと、今回の内容がより理解しやすくなります。

電位は目で見ることができないため、はじめは少しイメージしにくいかもしれません。しかし、「電荷がその場所にいることで、どれくらいのエネルギーをもつか」を表す量だと考えると理解しやすくなります。

電位とは？

重力のある場所では、物体を高い位置に持ち上げると位置エネルギーが大きくなります。これと同じように、電界の中に置かれた電荷も、その位置によって電気的な位置エネルギーをもちます。

ある点における電気的な位置エネルギーを単位電荷あたりで表したものを、電位（静電ポテンシャル）といいます。

電荷量 q[C] の電荷が電気的な位置エネルギー U[J] をもつとき、電位 V は以下の式で表されます。

$$
V\bigl[V\bigr]=\frac{U\bigl[J\bigr]}{q\bigl[C\bigr]}
$$

この式から、電位の単位は [J/C] になります。1[J/C] を 1[V]（ボルト）と呼びます。

真空中に点電荷 Q[C] があるとき、点電荷から距離 r[m] 離れた点の電位 V は、無限遠の電位を 0[V] とすると以下の式で表されます。

$$
V\bigl[V\bigr]=k\Biggl[\frac{N×m^{2}}{C^{2}}\Biggr]×\frac{Q\bigl[C\bigr]}{r\bigl[m\bigr]}
$$

ここで、k はクーロン定数であり、真空中ではおよそ 9.0×10⁹[N・m²/C²] です。誘電率 ε₀ を使うと、次のようにも表すことができます。

$$
V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}
$$

図1　点電荷がつくる電位

図1から分かるように、電位の大きさは点電荷からの距離 r に反比例します。そのため、点電荷に近いほど電位の絶対値は大きく、遠ざかるほど 0[V] に近づきます。

点電荷がつくる電位の符号は、電荷 Q の符号で決まります。

図2　電荷の符号と電位の関係

ここで重要なのは、電位がスカラー量であることです。電界は大きさと向きをもつベクトル量ですが、電位には向きがありません。

物理量	特徴	点電荷による式	単位
電位 V	スカラー量	V=kQ/r	V
電界 E	ベクトル量	E=kQ/r²	V/m

また、電位は 1/r に反比例しますが、電界の大きさは 1/r² に反比例します。式を混同しないように注意しましょう。

2つの点 A、B の電位の差を電位差といいます。点 A から点 B へ電荷 q を移動させたとき、電気的な位置エネルギーの変化は以下のようになります。

$$
\Delta U=U_B-U_A=q\bigl(V_B-V_A\bigr)
$$

一方、移動するときに電界がした仕事 W_AB は、位置エネルギーの変化と符号が反対になります。

$$
W_{AB}=-\Delta U=q\bigl(V_A-V_B\bigr)
$$

電位差は「電荷を動かす原因」と考えることもできます。電池や医用電子機器で使われる電圧は、この電位差を表しています。

複数の点電荷が存在するとき、ある点 P の電位は、それぞれの点電荷がつくる電位を足し合わせることで求められます。これを重ね合わせの原理といいます。

点 P から各電荷 q₁、q₂、・・・、q_N までの距離を r₁、r₂、・・・、r_N とすると、次のように表されます。

$$
V(P)=k\left(\frac{q_1}{r_1}+\frac{q_2}{r_2}+・・・+\frac{q_N}{r_N}\right)
$$

$$
V(P)=k\sum_{i=1}^{N}\frac{q_i}{r_i}
$$

図3　複数の点電荷による電位

電位はスカラー量なので、電界のようにベクトルの向きを考える必要はありません。正電荷による電位はプラス、負電荷による電位はマイナスとして、符号を含めて足し算します。

真空中に 2.0[μC] の点電荷があるとします。この点電荷から 0.30[m] 離れた点の電位を求めます。ただし、クーロン定数を k=9.0×10⁹[N・m²/C²] とします。

まず、2.0[μC] を 2.0×10⁻⁶[C] に変換し、点電荷の電位の式に代入します。

$$
\begin{align}
V&=k\frac{Q}{r} \\\\
&=9.0×10^9×\frac{2.0×10^{-6}}{0.30} \\\\
&=6.0×10^4\bigl[V\bigr]
\end{align}
$$

したがって、求める電位は 6.0×10⁴[V] です。

さらに、この点に 1.0[μC] の電荷を置いたときの位置エネルギー U は、U=qV より次のようになります。

$$
U=1.0×10^{-6}×6.0×10^4=6.0×10^{-2}\bigl[J\bigr]
$$